8. Doğrular ve açılar: Bir Açıya Eş Açı ve Açıortay Çizme, Üç Doğrunun Birbirine Göre Durumları, Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar. 9. Çokgenler: Düzgün Çokgenler, Dörtgenler, Eşkenar Dörtgenin Alanı, Yamuğun Alanı, Çevre Alan İlişkisi 10. Çember ve daire: Çember ve daire konu anlatımı. 11. dikdurumlu olan doğrunun eğimi kaçtır? Örnek19 : x+y+1 = 0 , x−y+4 = 0 doğrularının kesim noktasından geçen ve 2x+3y+13 = 0 doğru-suna paralel olan doğrunun denklemi? 10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015 3/5 w w w. m a t b a z. c o m d 2 d 1 A(a,b) 20132014 öğretim yılı 11. sınıf matematik ünitelendirilmiş yıllık plan. 2013-2014 öğretim yılı 11. sınıf lise matematik dersi için hazırladığımız ünitelendirilmiş yıllık planı aşağıdaki linkten indirebilirsiniz. Dosyada boş bırakılan alanları kendi okulunuza göre doldurmanız gerekmektedir. 3 Sınıf - Matematik Doğruların Birbirine Göre Durumları Konu anlatım slaytı. İnteraktif etkinlik. Sesli anlatımlı. İNDİR 1. Düzlemle Doğrunun Durumları. Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser. d1 Ç a = d1 d2 Ç a = Ø d Ç b = {K} K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir. 2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları cash. Paralel Doğrular a1x + b1y + c1 = 0 ve a2x + b2y + c2 = 0 doğrularında a1 / b1 = a2 / b2 eşitliği sağlanıyorsa bu doğrular birbirine paralel doğrulardır. Paralel doğruların eğim açıları birbirine eşittir. Örnek A 2, -3 noktasından geçen ve ve y = 4x - 1 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulun. Çözüm y = 4x - 1 doğrusunun eğimi x in katsayısı olan 4 dür. Dolayısıyla bu doğruya paralel olan doğrunun eğimi de 4 dür. Eğimi 4 olan ve A2, -3 noktasından geçen doğrunun denklemi, y-3=4.x-2 bağıntısından y = 4x -11 Doğrular Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğruda m1 . m2 = -1 ise bu doğrular dikdir, yani eğimleri çarpımı -1 olan doğrular birbirlerine dikdir. Örnek y = 3x - 4 ve y = 2k-1x + 6 doğruları birbirlerine dik olduklarına göre k sayısı kaçtır? Çözüm y = 3x-4 doğrusunun eğimi 3 ve y = 2k-1x + 6 doğrusunun eğimi 2k-1 dir. Bu eğimlerin çarpımını -1 e eşitlersek, 3 . 2k-1 = -1 den k = 1/3 olarak bulunur. Örnek A-1, 4 noktasından geçen ve 2x-3y+4=0 doğrusuna dik olan doğru denklemini bulunuz. Çözüm 2x-3y+4=0 doğrusunun eğimi 2 / 3 olduğundan aradığımız doğrunun eğimi -3/2 olur. Buradan eğimi -3/2 ve geçtiği nokta -1,4 olan doğrunun denklemi, y-4=-3/2 . x+1 bağıntısından bulunur. Bağıntıyı düzenlersek doğrunun denklemi 2y+3x-5=0 olarak Doğrular a1x+b1y+c1=0 ve a2x+b2y+c2=0 doğrularında a1/a2 eşit değil b1/b2 oluyorsa bu iki doğru kesişiyordur. Kesişen doğruların kesişim noktasının koordinatlarını bulmak için iki doğru denkleminin ortak çözümü yapılır. Örnek 2x+3y+5=0 ve 3x-2y-4=0 doğrularının kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz. Çözüm iki denklem alt alta yazılıp birinci denklem 2 ile ikinci denklem 3 ile genişletilerek taraf trafa toplanırsa y ler sadeleşir ve x = 2/13 bulunur. birinci veya ikinci denklemde bu değer yerine yazılırsa y = -69/39 bulunur. BU KONUDA ÖĞRENECEKLERİMİZ√ Aynı düzlemdeki üç doğrunun birbirine göre durumu√ Üç doğrunun birbirine göre durumlarına örnekler√ Kesen, ortak dikme, noktadaş doğrularÜÇ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARIAynı düzlem olan üç doğru birbirine göre şu durumlarda olabilir1 Üç doğru birbirine paralel Üç doğru bir noktada kesişir. Aynı noktadan geçen bu üç doğruya “Noktadaş Doğrular” Doğrular ikişer ikişer birbirini keser. Bu durumda üçgen İki doğru birbirine paralel olur ve üçüncü doğru bunları keser. Paralel doğruları bir noktada kesen bu doğruya “Kesen” adı verilir. Konu Anlatımı4 İki doğru birbirine paralel olur ve üçüncü doğru bunları dik keser. Buradaki kesen doğru diğer iki doğrunun dikmesi olduğu için bu doğruya “Ortak Dikme” adı gösterecek olursakKONUYU PEKİŞTİRMEK İÇİN KONU KAZANIMLARI BU KONUYLA İLGİLİ KAZANIMLAR√ İki paralel doğruyla bir keseninin oluşturduğu yöndeş, ters, iç ters, dış ters açıları belirleyerek özelliklerini inceler; oluşan açıların eş veya bütünler olanlarını belirler; ilgili problemleri çözer. Bu dersimizde verilen iki doğrunun birbirine göre nasıl durduğunu inceleyeceğiz. Durumları hatırlayalım uzayda iki doğru tek bir noktada kesişebilirler paralel olabilirler eş olabilirler çakışma aykırı doğrular olabilirler. Öncelikle, \k_1,k_2 \in R\ olmak üzere, elimizde denklemleri $$d_1X=A+k_1.\overrightarrow{u_1}$$ ve $$d_2X=B+k_2.\overrightarrow{u_2}$$ olan iki doğru olsun. Biliyoruz ki aykırı doğrular aynı düzlemde yer almayan doğrulardır. Bu nedenle iki doğrunun tek bir noktada kesişebilmesi için en azından aynı düzlemde yer almaları gerekir. Tabii bu durum tek bir noktada kesişmeleri için yeterli değildir, ama gereklidir. Eğer verilen doğrular düzlemsel ise, şekildeki gibi doğrultu vektörleri \\overrightarrow{u_1}\ ve \\overrightarrow{u_2}\ ile \A\ ve \B\ nin belirteceği \\overrightarrow{AB}\ bu düzlemin vektörleri olacaktır. Yani bu üç vektör lineer bağımlı olacaktır. O halde bu vektörlerin belirteceği determinantın değeri \0\ olmalıdır. Özetle, bu üç vektörün belirteceği determinant veya \\ \0\ ise doğrular ilk üç durumdan birini sağlar. \0\ değilse doğrular aykırı doğrulardır. Şimdi vektörlerin lineer bağımlı olduğunu varsayalım ve ilk üç durumu inceleyelim. Aynı düzlemde bulunan farklı doğruların tek bir noktada kesişmesi paralel olmamalarını gerektirir. Bu da doğruların doğrultu vektörlerinin lineer bağımsız olmasını gerektirecektir. O halde verilen iki doğrunun şekildeki gibi tek bir noktada kesişmesi için \\overrightarrow{u_1}\ ve \\overrightarrow{u_2}\ lineer bağımsız olmalıdır. Eğer bu iki vektör lineer bağımlı ise doğrular ya paraleldir ya da eş doğrulardır. Doğrular eş doğrular ise şekildeki gibi \\overrightarrow{AB}\ doğaldır ki \\overrightarrow{u_1}\ veya \\overrightarrow{u_2}\ cinsinden ifade edilebilir. Yani doğrultu vektörlerinden herhangi biri ile \\overrightarrow{AB}\ lineer bağımlıdır. Doğrular paralel ise şekildeki gibi doğrultu vektörlerinden herhangi biri ile \\overrightarrow{AB}\ lineer bağımsızdır. Bu durumlar dışında iki doğrunun birbirine dik kabul edilişi doğrultu vektörlerinin birbirine dik olmasına bağlıdır. Uzayda doğruların birbirine dik olması için kesişmeleri gerekmemektedir. MEB bu şekilde ifade etmiştir. Aslında kesişmeyen ama doğrultu vektörleri birbirine dik olan doğrulara dik durumlu doğrular denmektedir. Fakat bu detay göz ardı edilmiştir. Örnek 1 \d_1X=1,1,2+k1,0,2\ ve \d_2X=1,0,1+m2,-3,1\ doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz. Çözüm İlk bakışta \\overrightarrow{u_1}=1,0,2\ ve \\overrightarrow{u_2}=2,-3,1\ nün lineer bağımsız olduğu görülmektedir. Yani bu doğrular ya aykırıdır ya da tek bir noktada kesişecektir. Lafı fazla dolandırmadan temel çözüm mantığı olan ortak çözümle işleme başlayalım$$1,1,2+k1,0,2=1,0,1+m2,-3,1$$ eşitliğinden $$\begin{matrix}2m-k=0\\ -3m=1\\ m-2k=1\end{matrix}$$ eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden ikincisinden \m=-\dfrac{1}{3}\ olur. Bunu birincide yerine yazarsak \k=-\dfrac{2}{3}\ bulunur. Bu çözümde dikkat edilmesi gereken, ilk iki denklemden bulduğumuz bu değerlerin, üç denklemden oluşan sistemin, her denklemini sağlaması gerektiğidir. Denklemlerin tümü sağlanmıyorsa doğruların ortak bir noktası olmayacaktır. Bulduğumuz \k\ ve \m\ değeri üçüncü denklemi de sağladığı için doğrular tek bir noktada kesişmektedir. Şimdi bu noktayı bulalım \m=-\dfrac{1}{3}\ için ikinci doğru denleminden $$X=1,0,1- \dfrac{1}{3}2,-3,1=\dfrac{1}{3},1,\dfrac{2}{3}$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz. Video burada görüntülenecektir. Örnek 2 \d_1X=1,2,3+k-1,a,1\ ve \d_2X=-1,-2,0+m0,2,1\ doğruları tek bir noktada kesiştiğine göre bu noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını bulunuz. Çözüm Öncelikle ilk doğrunun geçtiği sabit noktaya \A1,2,3\ ve diğerinin geçtiği sabit noktaya \B-1,-2,0\ diyelim. Böylece \\overrightarrow{AB}=-2,-4,-3\ olur. Ayrıca \\overrightarrow{u_1}=-1,a,1\ ve \\overrightarrow{u_2}=0,2,1\ dir. Doğrular tek bir noktada kesiştiğine göre bu üç vektör lineer bağımlıdır. O halde $$\begin{vmatrix}-2 &-4 &-3 \\ -1 &a &1 \\ 0 &2 &1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow a=3$$ bulunur. Artık bir önceki örnekte olduğu üzere ortak çözüm yapabiliriz. $$\begin{matrix}1,2,3+k-1,3,1=-1,-2,0+m0,2,1\\ \Rightarrow k=2\quad \wedge \quad m=5 \end{matrix}$$ bulunur. Herhangi birini yerine yazarsak ortak nokta $$-1,8,5$$ bulunur. Orijine olan uzaklığı ise $$\sqrt{1^2+8^2+5^2}=3\sqrt{10}$$ bulunur. Örnek 3 \d_1X=2,0,1+k1,-1,2\ ve \d_2X=1,-1,3+m-1,1,-2\ doğrularının her ikisine de dik olan ve \4,-2,5\ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm Doğruların doğrultu vektörleri \\overrightarrow{u_1}=1,-1,2\ ve \\overrightarrow{u_2}=-1,1,-2\ için \\overrightarrow{u_1}=-\overrightarrow{u_2}\ olduğundan lineer bağımlıdırlar. Ayrıca doğruların sabit noktaları \A2,0,1\ ve \B1,-1,3\ için \\overrightarrow{AB}=-1,-1,2\ bu vektörlerden herhangi biri ile lineer bağımsızdır. O halde doğrular paraleldir. Aradığımız doğru da bu paralel doğrulara dik olan bir doğrudur. Bu doğrunun doğrultu vektörünü bulmak için ikinci doğru üzerinde birinci doğru üzerinde de alınabilirdi \m\in R\ için öyle bir \C1-m,-1+m,3-2m\ noktası alalım ki $$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{u_1}$$ olsun. Böylece \\overrightarrow{AC}\ aradığımız doğrunun doğrultu vektörü olur. Şimdi işlem kısmına gelelim $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=-1-m,-1+m,2-2m$$ dir. Vektörlerin diklik koşulu gereği $$\begin{matrix}=0\\\\ \Rightarrow -1-m+1-m+4-4m=0\\\\\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$$ bulunur. O halde doğrunun doğrultu vektörü $$\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{3},-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}$$ bulunur. Rasyonel durumdan kurtulmak için \3\ ile genişletelim ve genel olarak vektöre \\overrightarrow{u}=-5,-1,2\ dersek, istenilen doğrunun denklemi $$X=4,-2,5+k-5,-1,2$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz. Video burada görüntülenecektir. İki doğru sadece bir noktada kesişiyorsa bu doğrulara kesişen doğrular denir. İki doğrunun birbiriyle kesiştiği noktaya ise kesişme noktası adı verilir. Eğer iki doğru birbiri ile doksan derece açı yapacak şekilde kesişiyorsa bu doğrulara da dik doğrular denir. Birbirlerine olan uzaklıkları aynı ve birbirleriyle kesişmeyen doğrulara ise, paralel doğrular denir. Bu konu anlatımında, iki doğrunun hangi durumda kesiştiğini, hangi durumda birbirine dik olduğunu ve hangi durumda paralel olduklarını görebilirsiniz.

iki doğrunun birbirine göre durumları konu anlatımı